Pratique du Calcul intégral

Nous allons ici aborder quelques méthodes pour calculer des primitives d'une large classe de fonctions.

Intégrale indéfinie

Soit $f:D\to\R$ continue. On note $\int f(x)dx$ l'une quelconque des primitives

, définie à une constante près que l'on ajoute toujours explicitement.

Exemple $\int\frac1x dx = \ln\vert x\vert + C$ . Ici, $D_f=\R\setminus\set0$ , on peut donc avoir des constantes différentes sur $\lr][{-\infty,0}$ et sur $\lr][{0,\infty}$ . Autrement dit, $\C$ est une fonction constante sur chaque sous-intervalle de

On dit que $\int f(x)dx$ est l'intégrale indéfinie de

, alors que $\int_a^b f(x)dx$ s'appelle intégrale définie.

Remarque On utilise la notion d'intégrale indéfinie comme synonyme de primitive. On pourrait faire une distinction plus rigoureuse en définissant l'intégrale indéfinie $\int f(x)dx$ comme l'une quelconque des fonctions de la forme $\int_a^xf(x)dx$ , ou $a\in D$ n'est pas spécifié. (C'est ainsi qu'on la détermine et qu'on l'utilise, dans l'esprit du sous-chapitre qui précède.) Les deux définitions sont équivalentes au détail près qu'on n'obtient alors pas toutes les primitives par les intégrales indéfinies: en effet, en changeant la borne inférieure

on ne peut pas obtenir toutes les constantes, si

est borné ou si les primitives de

sont bornées, si $\lim_{x\to\pm\infty}\int_a^xf(x)dx$ est finie.

Primitives des fonctions usuelles

Par dérivation, on vérifie aisément la validité des relations données dans le tableau [*]

. De même, on vérifie par dérivation (règle de chaîne!) que

$\displaystyle \int u'(x) \, f(u(x)) dx$	$\displaystyle =$	$\displaystyle F(u(x))$
avec		$\displaystyle F(t) = \int f(t) dt ~.$

**Tableau:** Primitives des fonctions usuelles
$\begin{table} % latex2html id marker 815 \hrule\begin{eqnarray} \int x^\a dx &... ...\rm Arsh}\,x + C ~=~ \ln(x+\sqrt{1+x^2}) + C_2 \end{eqnarray}\hrule\end{table}$

Cette formule sera étudiée plus en détail dans le paragraphe [*]

. Elle permet d'utiliser les formules élémentaires ci-dessus pour toute une classe de fonctions élémentaires «composées». Son application notamment au cas $u(x)=a\,x+b$ (et donc

) est immédiate et donne:

$\displaystyle \int f(a\,x+b) dx = \frac 1a\, F(a\,x+b)$

Exercice Généraliser le formulaire précédent, en remplaçant

dans l'intégrand par $a\,x+b$ .

Intégration par parties

Proposition Pour $f,g\in\CC^1(I\to\R)$ , on a

$\displaystyle \int f'(x)\,g(x)dx = f(x)\,g(x) - \int f(x)\,g'(x)dx$

ou encore, avec

et en utilisant les intégrales définies:

$\displaystyle \int_a^b f'(x)\,g(x)dx = \Big[ f(x)\,g(x) \Big]_a^b - \int_a^b f(x)\,g'(x)dx$

Démonstration On a

$\displaystyle f(x)\,g(x)~(+C) =\int (fg)'(x)dx$	$\displaystyle = \int [f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)]dx$
	$\displaystyle = \int f'(x)\,g(x)dx + \int f(x)\,g'(x)dx~,$

D'où (en absorbant la constante d'intégration dans les intégrales indéfinies) la première partie de la proposition. La deuxième partie s'obtient en prenant la valeur en

moins la valeur en

Remarque Cette relation est souvent utilisé pour diminuer successivement le degré d'un polynôme

qui multiplie une fonction

que l'on sait intégrer.
Elle sert aussi pour l'intégration des expressions faisant intervenir les fonctions trigonometriques, où l'on retombe sur la fonction d'origine après deux intégrations.

Exemple Calculons la primitive $\int x^2 e^xdx$ . On posera deux fois successivement

$\displaystyle \int x^2 e^xdx$	$\displaystyle = x^2 e^x - \int 2\,x\,e^xdx$
	$\displaystyle = x^2 e^x - 2\,x\,e^x + 2\int e^xdx$
	$\displaystyle = x^2 e^x - 2\,x\,e^x + 2\, e^x + C$

Exemple Calculons la primitive $\int \sin x\, e^xdx$ . On posera successivement $f=\sin x$ , puis $f=\cos x$ :

$\displaystyle \int \sin x\, e^xdx$	$\displaystyle = \sin x\, e^x - \int \cos x\,e^xdx$
	$\displaystyle = \sin x\, e^x - \lr[]{ \cos x\,e^x - \int (-\sin x)\,e^xdx }$
	$\displaystyle = (\sin x-\cos x)\, e^x - \int \sin x\,e^x dx$

On met tous les $\int$ dans le membre de gauche et obtient après division par 2:

$\displaystyle \int \sin x\, e^xdx = \frac12\,(\sin x-\cos x)\, e^x ~~~({}+C \,)$

Formule de Taylor avec reste intégral

Comme application importante de l'intégration par parties, démontrons le
Théorème [formule de Taylor avec reste intégral]
Pour $a,x\in\R$ et $f\in\CC^{n+1}([a,x])$ , on a

$% latex2html id marker 4752 $\displaystyle f(x) = f(a)+ f'(a)\,(x-a)+{\text...}+\frac1{n!}\,f^{(n)}(a)\,(x-a)^n +\frac1{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^n dt ~.$$

(4)

(Rappel: on note $\CC^k(I)$ les fonctions

fois continûment dérivables sur

Cette formule de Taylor avec reste intégral est historiquement la première parmi les différentes formules de Taylor (cf. chap. [*]

, page

), trouvée par Monsieur Brook Taylor (1685-1731).

Elle sert pour le calcul de développements limités qui seront étudiés au chapitre suivant. Elle donne une approximation polynômiale de la fonction

au voisinage de

: en effet, si

est proche de

, alors les termes de la forme

deviennent très petits, d'autant plus que

est élevé. Le dernier terme, appelé «reste intégral» du développement, tend encore plus vite vers zéro que

(comme on le démontre au chapitre [*]

Démonstration Pour

, la formule est vraie: en effet, elle s'écrit dans ce cas

$\displaystyle f(x)-f(a)=\int_a^x f'(t)dt ~,$

ce qui exprime simplement le fait que

est une primitive

, lorsque $f\in\CC^1([a,x])$ .

Supposons maintenant ( [*]

) vraie pour un certain $n\in\N$ , et que $f^{(n+1)}$ admette une dérivée $f^{(n+2)}$ continue sur

. Ainsi, les deux facteurs dans le reste intégral vérifient les conditions suffisantes pour pouvoir faire une intégration par partie, avec $u=f^{(n+1)}\impl u'=f^{(n+2)}$ et $v'(t)=(x-t)^n\impl v(t)=\frac{-1}{n+1}(x-t)^{n+1}$ . Alors

$\displaystyle { \int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^ndt }$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lr[]{ f^{(n+1)}(t)\,\tfrac{-1}{n+1}(x-t)^{n+1}}_a^x - \tfrac{-1}{n+1} \int_a^x f^{(n+2)}(t)\,(x-t)^{n+1} dt ~.$

La borne supérieure du crochet donne zéro et pour la borne inférieure les signes

se compensent, on a donc

$\displaystyle { \int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^ndt }$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \tfrac{1}{n+1}\,f^{(n+1)}(a)\,(x-a)^{n+1} + \tfrac{1}{n+1} \int_a^x f^{(n+2)}(t)\,(x-t)^{n+1} dt ~$

et en reportant ceci dans ( [*]

), on trouve la formule au rang

Changement de variable d'intégration

Proposition Soit $f: I\to\R$ continue et $\vp: J\to I$ un difféomorphisme, une bijection telle que $\vp$ et $\vp^{-1}$ soient continûment dérivables. Dans ce cas,

$\displaystyle \int f(x) dx = F(\vp^{-1}(x))$ avec $\displaystyle F(t) = \int f(\vp(t))\,\vp'(t)dt ~~({}+C\,)~.$

Autrement dit, $F\circ\vp^{-1}$ est une primitive de

. En terme d'intégrales définis, on a

$\displaystyle \int_{\vp(a)}^{\vp(b)} f(x) dx = \int_a^b f(\vp(t))\,\vp'(t)dt ~.$

Démonstration Il faut et il suffit de montrer que $F\circ\vp^{-1}$ a comme dérivée

. Or, d'après la règle de chaîne, on a

$\displaystyle (F\circ\vp^{-1})'=F'\circ\vp^{-1}\cdot(\vp^{-1})'$

Or, $F'=f\circ\vp\cdot\vp'$ et $(\vp^{-1})'=1/(\vp'\circ\vp^{-1})$ (ce qui se montre en dérivant $\vp(\vp^{-1}(x))=x$ ). Donc

$\displaystyle (F\circ\vp^{-1})' = f\cdot\vp'\circ\vp^{-1}\cdot1/(\vp'\circ\vp^{-1}) = f ~.$

Pour une intégrale définie, on a donc

$\displaystyle \int_\a^\b f(x)dx$	$\displaystyle = F(\vp^{-1}(\b)) - F(\vp^{-1}(\a))$
	$\displaystyle = \int_{\vp^{-1}(\a)}^{\vp^{-1}(\b)} f(\vp(t))\,\vp'(t)dt$

ce qui revient au même que la formule donnée dans l'énoncé avec $a= \vp^{-1}(\a)$ et $b=\vp^{-1}(\beta)$ .

Applications -- Disposition pratique:

Ce théorème permet de calculer $\int f$ si l'on sait calculer $\int f\circ\vp\cdot\vp'$ , ou réciproquement. Il est à la base de tout «l'art de l'intégration », qui consiste à trouver les bons changements de variables $x=\vp(t)$ .

Dans la pratique, on écrit alors

$\displaystyle x$

$\displaystyle = \vp(t) \impl \frac{\rd x}{\rd t} = \vp'(t) ~.$

On écrit symboliquement $\rd x = \vp'(t)dt$ , et on substitue ces deux équations dans l'intégrale en question:

$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(\underbrace{\vp(t)}_{=x})\, \underbrace{\vp'(t)dt}_{=\rd x}$

Puis, ayant trouvé la primitive

du membre de droite, on retourne à la variable

en substituant $t=\vp^{-1}(x)$ .

Exemple Calculons la primitive $\int \sin x \cos x dx$ sur l'intervalle $\lr][{-1,1}$ . Posons $\sin x=t \impl \cos xdx=\rd t$ . C'est justifié car $\sin$ est une bijection différentiable de $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ sur

, et la fonction réciproque $x=\arcsin t$ est également dérivable à l'interieur de cette intervalle. D'où

$\displaystyle \int \underbrace{\sin x}_{=t} \underbrace{\cos x dx}_{=\rd t} = \int tdt = \frac12\,t^2 + C = \frac12 (\sin x)^2 + C ~.$

N.B.: En terme des définitions de la proposition, on a travaillé avec $\vp^{-1}$ plutôt qu'avec $\vp$ ; c'est souvent plus ainsi qu'on procède dans la pratique.

Remarque Il faut s'assurer que la fonction $\vp$ est effectivement une bijection, généralement en considérant ses propriétés de monotonie. Dans le cas echéant, il faut découper l'intervalle d'intégration en des sous-intervalles sur lesquels $\vp$ est monotone.