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Développements limités : définition et propriétés

Développements limités : définition et propriétés

Les développements limités consistent grosso modo à trouver une approximation polynômiale à une fonction plus compliquée, au voisinage d'un point choisi. Ils ont de nombreuses applications dans d'autres sciences (physique,...), mais aussi dans les mathématiques elles-mêmes, en particulier en analyse numérique.

D.L. d'ordre $ n$ en $ x_0$

Définition On dit que $ f:I\to\R$ admet un $ DL_n(x_0)$ ssi il existe un polynôme $ P\in\R_n[X]$ et une fonction $ \e:I\to\R$ t.q.
$\displaystyle \forall x\in I: f(x)=P(x-x_0) + (x-x_0)^n\e(x)$     et  $\displaystyle \lim_{x_0}\e =0 ~. $
On appelle alors $ P(x-x_0)$ la partie régulière du DL, et $ (x-x_0)^n\e(x)$ le reste d'ordre $ n$, que l'on note aussi $ o((x-x_0)^n)$. 
Exemple [fondamental] $ f:\left]-1,1\right[\to\R ; f(x)=\frac1{1-x} = 1+x+x^2+x^3+x^3\frac x{1-x} $, donc $ f$ admet un $ DL_n(0)$ de partie régulière $ P(x)=1+x+x^2+x^3$ et de reste$ x^3\,\veps(x)=x^3\frac x{1-x}$.
Remarque On permet le cas $ x_0\not\in I$, mais les seuls cas utiles sont ceux ou $ x_0\in\overline I$ (adhérence de $ I$), par exemple $ I=[a,b]\setminus\set{x_0}$ ou $ I=\lr][{x_0,b}$.
Remarque Il faut insister sur le fait qu'un développement limité est une stricte égalité mathématique, il ne faut donc jamais «oublier» le reste en faveur de la partie régulière. D'ailleurs, dans certains cas le reste peut être plus intéressant que la partie régulière.
Remarque Comme la formule simplifie pour $ x_0=0$, on se ramène souvent à ce cas en considérant $ g(t)=f(x_0+t)$, en faisant un changement de variables $ x=x_0+t$, puis un $ DL(t=0)$, dans lequel on resubstitue finalement $ t=x-x_0$.
Corollaire (Conséquences de la définition.) -- On se limite ici aux cas ou $ I$ est un intervalle, éventuellement privé du point $ x_0$.
  • Si $ f$ admet un DL en $ x_0\in\bar I$, alors $ f$ admet une limite en $ x_0$, égale à $ a_0=P(0)$. Si $ x_0\in I$, cela implique que $ f$ est continue en $ x_0$. Sinon, $ f$ admet un prolongement par continuité en $ x_0$ (en posant $ \wt f(x_0)=a_0$), dont le DL coïncide avec celui de $ f$.
  • Si $ f$ admet $ DL_n(x_0),~ n\ge1$ et $ x_0\in I$, alors $ f$ est dérivable en $ x_0$ et $ f'(x_0)=a_1=P'(0)$.

Exemple Pour $ n\in\N$, $ k\in\N^*$, $ f(x)=x^{n+1}\sin x^{-k}$ n'est pas définie en 0 mais admet un $ DL_n(0)$ (de partie régulière nulle et avec $ \veps=x\sin x^{-k}$) et donc une limite (nulle) et donc un prolongement par continuité en 0. Pour $ n\ge1$, ce prolongement $ \wt f$ est dérivable en 0 ($ 2^e$ partie du corrolaire) (avec $ \wt f'(0)=0$), mais la dérivée n'est pas continue en 0 si $ n\le k$: en effet $ f'(x)=(n+1)x^n\sin x^{-k}-k\,x^{n-k}\cos x^{-k} ~(x\ne0)$ n'admet pas de limite en 0 pour $ n\le k$.
Remarque L'exemple précédent montre que même si $ f$ admet un DL à un ordre aussi élevé qu'on veut, cela n'implique jamais que la dérivée soit continue, et donc encore moins que la fonction soit deux fois dérivable!  (Prendre $ k=n$ arbitrairement grand dans l'exemple [*].)

Unicité du D.L.

Lemme [troncature] Si $ f$ admet un $ DL_n(x_0)$ de partie régulière $ P$, alors $ f$ admet $ DL_m(x_0) ~~\forall m\in\set{0,...,n}$, dont la partie régulière sont les termes de degré $ \le m$ de $ P$. 
Démonstration Exercice facile: il suffit de montrer que les termes $ a_k(x-x_0)^k$ avec $ k>m$ peuvent s'écrire comme reste d'ordre $ m$:
$\displaystyle \SUM k{m+1}n a_k(x-x_0)^k + (x-x_0)^n\e(x)=(x-x_0)^m\eta(x) $
avec
$\displaystyle \eta=\SUM k{m+1}n a_k(x-x_0)^{k-m}+(x-x_0)^{n-m}\e(x)\to0~~(x\to x_0) ~. $

Théorème [unicité] Si $ f$ admet un DL, il est unique, $ P$ et $ \veps$ sont uniques. 
Démonstration (par recurrence). Pour $ n=0$, $ P=a_0=\lim_{x_0} f$ et $ \e(x)=f(x)-a_0$ sont déterminés de façon unique. Supposons que le $ DL_n(x_0)$ de $ f$ est unique, et que $ f$admet un $ DL_{n+1}(x_0)$, $ f=\sum_0^{n+1} a_i(x-x_0)^i+(x-x_0)^{n+1}\e(x)$. D'après le Lemme qui précède, % latex2html id marker 2768 $ a_0+{\text ...}+a_n(x-x_0)^n+(x-x_n)^n\eta(x)$ avec$ \eta(x)=a_{n+1}(x-x_0)+(x-x_0)\e(x)$ est un $ DL_n(x_0)$ de $ f$. D'après l'hypothèse de récurrence, $ a_0,...,a_n$ ainsi que le reste $ \eta$ sont uniques. Or,$ \lim_{x\to x_0}\frac1{x-x_0}\eta(x)=a_{n+1}$. Ce coefficient, et $ \e=\frac1{x-x_0}\eta(x)-a_{n+1}$ sont donc également uniques. 
Remarque Autre démonstration: soit $ f(x)=P(x-x_0)+(x-x_0)^n\e(x) =Q(x-x_0)+(x-x_0)^n\eta(x)$, avec % latex2html id marker 2786 $ P=a_0+{\text ...}+a_nX^n$ et % latex2html id marker 2788 $ Q=b_0+{\text ...}+b_nX^n$. En considérant $ \lim(x\to x_0)$ de l'équation précédente, on a $ a_0=b_0$. Si $ n>0$, on peut alors soustraire $ a_0=b_0$ de cette équation, la diviser par $ (x-x_0)$ (pour $ x\ne x_0$), et on repart du début avec une équation du même type mais avec $ n$ diminué d'un rang, de laquelle on déduit $ a_1=b_1$, etc... Quand enfin on arrive à $ n=0$, ayant identifié le terme constant et soustrait des deux membres, l'équation devient $ \e(x)=\eta(x)$, d'où également l'unicité des restes.
Corollaire $ f$ paire (par rapport au pt. $ x_0$) $ P$ pair, % latex2html id marker 2816 $ P=P(-X)\iff P=\frac12(P+P(-X))\iff P=a_0+a_2X^2+{\text ...}+a_{2k}X^{2k}$. 
Démonstration $ f$ paire $ \iff f(x_0+t)=f(x_0-t)$, donc $ P(t)=P(-t)$ (en comparant partie régulière du $ DL(x_0)$ de $ f$ et de $ f(x_0-(x-x_0))$). 


Existence des D.L. -- Formules de Taylor

Dans ce paragraphe, on affirme l'existence du D.L. pour les fonctions suffisament dérivables, et on précise en même temps une expression explicite des coefficients de la partie régulière en terme des dérivées de la fonction au point du D.L.
Théorème [de Taylor-Lagrange] Si $ f$ est $ n+1$ fois continûment dérivable sur $ [x_0,x]$, alors $ f$ admet un $ DL_n(x_0)$ de partie régulière
% latex2html id marker 2891 $\displaystyle P = f(x_0) + f'(x_0) \,X + {\text ...} + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \,X^n ~. $
(de coefficient $ a_k=\frac1{k!}f^{(k)}(x_0)$), avec le reste de Lagrange d'ordre $ n$,
% latex2html id marker 2897 $\displaystyle \exists c\in\left]x_0,x\right[:~ f(x) - P(x-x_0) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\, (x-x_0)^{n+1} ~. $

Remarque A titre mnemotechnique, le reste d'ordre $ n$ a donc la même expression qu'un terme d'ordre $ n+1$ de la partie régulière, sauf que le «coefficient» n'est pas une constante dans la mesure ou le point $ c$ ci-dessus dépend de $ x$.
Démonstration Avec l'hypothèse de ce théorème, nous avons déjà démontré la formule de Taylor
% latex2html id marker 2907 $\displaystyle %%\begin{equation}\label{taylor-int-2... ... = f(a)+ f'(a)\,(x-a)+{\text ...}+\frac1{n!}\,f^{(n)}(a)\,(x-a)^n + R_n(f,a,x) $
avec le reste intégral d'ordre $ n$,
$\displaystyle R_n(f,a,x)= \frac1{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^n dt ~, $
Pour que cette formule corresponde effectivement à un D.L., il faut montrer que $ R_n(f,a,x)$ est négligeable devant $ (x-a)^n$, lorsque $ x\to a$. Pour cela, utilisons le théorème de la moyenne généralisée, avec $ g(t)=(x-t)^n>0$ pour $ t\in\lr][{a,x}$. Il existe donc $ c\in\lr][{a,x}$ tel que
$\displaystyle R_n(f,a,x)= \frac1{n!} f^{(n+1)}(c)\int_a^x (x-t)^n dt ~. $
Cette dernière intégrale vaut
$\displaystyle \lr[]{\frac{-1}{n+1}(x-t)^{n+1}}_a^x = \frac1{n+1}(x-a)^{n+1} ~, $
d'où la formule du reste de Lagrange (avec $ a=x_0$). 
$ f^{n+1}$ étant continue donc bornée sur $ \lr][{a,b}$, on a que $ R_n(f,a,x)/(x-a)^n$ tend vers zéro, c'est à dire $ R_n(f,a,x)=o(x-a)^n$. 
Remarque On peut montrer que le théorème reste vrai sous la condition moins forte que $ f^{(n)}(x_0)$ existe et $ f$ soit $ n+1$ fois dérivable sur $ \left]x_0,x\right[$.
Par exemple, $ f(x)=\sqrt x$, admet un $ DL_0(0)$ de partie régulière nulle et de reste $ R_0(f,0,x)=\sqrt x=o(x^0)$. La dérivée $ f'(x)=\frac12\,x^{-1/2}$ n'est pas définie en 0, mais le reste peut néanmoins s'exprimer comme % latex2html id marker 2955 $ f'(\xi){\text .}x$ avec $ \xi=\frac14x$.
La formule avec reste intégral reste en effet vraie dans ces conditions, mais le $ R(f,a,x)$ est en général une intégrale impropre, définie comme % latex2html id marker 2961 $ \int_a^x{\text ...}dt=\lim_{w\to a}\int_w^x{\text ...}dt$, qui converge (C'est à dire cette limite existe et elle est finie), car la primitive s'exprime en termes de $ f^{(n)}$ qui est continue par hypothèse.
(Dans l'exemple précédent, on a l'intégrale impropre $ \int_0^xt^{-1/2}dt$ qui converge car la primitive $ 2\sqrt x$ admet une limite en 0.)
Remarque Dans le cas particulier (mais fréquent) où $ x_0=0$, et en posant $ c=\theta\,x$ avec $ \theta\in[0,1]$, la formule de Taylor-Lagrange s'appelle formule de MacLaurin:
% latex2html id marker 2975 $\displaystyle \exists \theta\in\lr][{0,1}: f(x) = f... ...}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta\,x)}{(n+1)!}\,x^{n+1} ~. $
Une autre version de la formule de Taylor, nécessitant une hypothèse moins forte, mais donnant un résultat plus faible, est le
Théorème [Taylor-Young] Si $ f^{(n)}(x_0)$ existe, alors $ f$ admet $ DL_n(x_0)$ de partie régulière
% latex2html id marker 2983 $\displaystyle P=f(x_0) + f'(x_0) \,X + {\text ...} + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \,X^n ~. $
Nous en admettons ici la démonstration, on peut p.ex. consulter [Ramis & al, Cours de Math Spé, III] . 

Application : D.L. de quelques fct élémentaires

En utilisant la formule de Taylor, on obtient les DL(0) des fonctions élémentaires % latex2html id marker 3068 $ \exp,\cos,\sin,(1+x)^\a$ donnés ci-dessous, où $ o(x^n)$ représente une fonction inconnue de la forme$ x^n\veps(x)$, avec $ \displaystyle\lim_{x\to0}\veps(x)=0$.
% latex2html id marker 3075 $\displaystyle e^x = \exp x$% latex2html id marker 3076 $\displaystyle = 1+x+\frac12\,x^2 + {\text ...} +\frac1{n!}\,x^n + o(x^n)$   
$\displaystyle \sin x$% latex2html id marker 3078 $\displaystyle = x - \frac16\,x^3 +- {\text ...} +\frac{(-1)^n}{(2\,n+1)!}\,x^{2\,n+1} + o(x^{2\,n+1})$   
$\displaystyle \cos x$% latex2html id marker 3080 $\displaystyle = 1 - \frac12\,x^2 +-{\text ...} +\frac{(-1)^n}{(2\,n)!}\,x^{2\,n} + o(x^{2\,n})$   
$\displaystyle \ln(1+x)$% latex2html id marker 3082 $\displaystyle = x-\frac12\,x^2 +- {\text ...} +\frac{(-1)^{n+1}}n\,x^n + o(x^n)$   
$\displaystyle \frac1{1-x}$% latex2html id marker 3084 $\displaystyle = 1 + x + x^2 + {\text ...} + x^n + o(x^n)$   
$\displaystyle (1+x)^\a$% latex2html id marker 3086 $\displaystyle = 1 + \a x + {\text ...} + \frac\a1{\text .}\frac{\a-1}2{\text .}\frac{\a-2}3\cdots\frac{\a-n+1}n\,x^n + o(x^n)$   

Les fonctions $ ch\, x=\frac{e^x+e^{-x}}2$ et $ sh\, x=\frac{e^x-e^{-x}}2$ ont comme DL les termes en puissances paires resp. impaires de $ e^x$, ce sont donc ceux de $ \cos x,\sin x$, mais avec des signes + partout. (En effet, % latex2html id marker 3096 $ \cos x=\real e^{i{\text .}x}=ch(i{\text .}x)$ et % latex2html id marker 3098 $ \sin x=\imag e^{i{\text .}x}=\frac1ish(i{\text .}x)$.)
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