Les systèmes d'équations

Les systèmes d'équations

Introduction

Nous savons résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues, voire un système de 3 équations à 3 inconnues, lorsque ceux-ci admettent une solution. Mais nous ne savons pas résoudre les systèmes plus compliqués. Or, parfois, lorsque l'on dispose d'un grand nombre de données reliées entre elles par un grand nombre d'équations, on peut avoir à résoudre de tels systèmes. C'est le cas par exemple des météorologues qui disposent d'un très grand nombre d'informations (températures, pressions, vents, etc...en différents endroits) reliées entre elles par un très grand nombre d'équations (les équations qui décrivent le comportement d'une variable en fonction des autres). Ce peut être le cas aussi des spécialistes du secteur bancaire et de la finance qui cherchent à prévoir l'évolution de valeurs boursières en fonction d'un très grand nombre de données, ou encore tout simplement des scientifiques qui étudient l'évolution dans le temps d'un grand nombre de paramètres liés à une expérience. Nous allons voir comment résoudre un système de n équations à n inconnues en partant de l'exemple de la résolution d'un système de 4 équations à 4 inconnues.

Etude de cas

Considérons le système suivant, appelé système d'équations linéaires, étant donné que les inconnues sont toujours à la puissance 1.

Ce système admet t-il une solution?

Il y a plusieurs possibilités. Observons le tableau ci-dessous.

Type	2 équations à 2 inconnues	3 équations à 3 inconnues	4 équations à 4 inconnues
Intéprétation géométrique			Représentation impossible
Intersections possibles (solutions)	aucune, un point, une droite.	aucune, un point, une droite, un plan.	aucune, un point, une droite, un plan, un hyperplan.
Dimensions possibles de l'espace vectoriel des solutions	Vide, 0, 1.	Vide, 0, 1, 2.	Vide, 0, 1 , 2, 3.

Un système de 4 équations à 4 inconnues peut admettre 0 solution, 1 solution, ou une infinité de solutions formant des espaces de vectoriels de dimensions 1, 2, ou 3.

D'une manière générale, dans un espace vectoriel de dimension n, un système de n équations à n inconnues peut admettre 0 solution, une solution, ou une infinité de solutions formant des espaces vectoriels de dimensions pouvant varier de 1 à n-1.

Avant de chercher les solutions d'un tel système il faut donc d'abord s'interesser au nombre de solutions qu'il admettra. Dans le cas où le système admet une infinité de solutions on donnera les solutions sous la forme d'unespace vectoriel.

Pour étudier l'existence et le nombre de solutions d'un système de n équations à n inconnues on doit s'intéresser à ses coefficients.

Existence de solutions

Considérons le groupe de nombres suivant:

Un tel groupe formé de nombres dans deux grands crochets s'appelle une matrice. Pour chaque matrice M, on peut calculer un nombre, appelé le déterminant de la matrice. C'est lui qui nous donnera le nombre de solutions du système. Il est noté , ou encore, dans le cas de notre matrice:

Calcul du déterminant

C'est un calcul simple mais souvent long si on le réalise à la main.
Introduisons d'abord la matrice  obtenue en otant la i^ème ligne et la j^ième colonne de M. On a par exemple:

En prenant le nombre j compris entre 1 et n qui nous arrange le mieux pour effectuer le calcul, et en notant  le coefficient situé sur la i^ème ligne et la j^ième colonne de M, on peut calculer le déterminant de M avec la formule suivante:

Ainsi, pour notre matrice M, on a avec j=1 :

Propriété

- Si le déterminant d'une matrice est égal de 0 alors le système associé admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
- Si le déterminant est différent de 0 alors le système associé admet une unique solution.

Ici le déterminant est nul donc on ne peut pas conclure. Nous étudierons ce cas au niveau bac+2 et nous verrons comment écrire l'ensemble des solutions sous la forme d'un espace vectoriel (lorsqu'il y a un nombre infini de solutions).

Pour la suite nous allons nous intéresser uniquement au cas des systèmes dont le déterminant est non nul et apprendre dans ce cas à calculer l'unique solution. 

Calcul des solutions

Nous avons besoin d'un nouveau système. Considérons donc le système:

En posant , on a , donc ce système admet bien une unique solution.

Définitions

- Si A et B sont deux matrices, la somme A+B de A et de B est la matrice qui admet pour coefficients la somme des coefficients de A et de B. De même pour la matrice A-B.

- Si A et B sont deux matrices, le produit  de A par B est la matrice dont le coefficient situé sur la i^ième ligne et la j^ième colonne est égal au produit croisé des coefficients de la i^ième ligne de A par ceux de la j^ième colonne de B. Par exemple :

 et 

- Si A est une matrice, la transposée de A est la matrice notée  telle que chacun de ses coefficients i,j soit égal au coefficient j,i de A. Par exemple, si  alors .

Application

Avec ces considérations, notre système peut s'écrire :

Ou encore, en posant  et  : .

Si on arrive à trouver une matrice  qui soit l’inverse de M au sens du produit tel que défini ci-dessus, alors on aura , et on pourra calculer les nombres x, y, z et t en réalisant le produit des matrices  et N. Nous devons donc apprendre à calculer l'inverse d'une matrice.

Inversion de matrice

La comatrice de M, notée , est la matrice dont le coefficient situé sur la i^ème ligne et la j^ème colonne est égal au nombre . Lorsque le déterminant d’une matrice n'est pas nul, on a:

Après de simples mais longs calculs, on obtient pour notre matrice M :

On a ensuite facilement :  et .

Solutions du système

Comme , un dernier produit matriciel nous donne la valeur des 4 variables du système.

Donc x=2, y=1, z=-1 et t=3.

Pour résoudre des systèmes plus compliqués, par exemple un système de 100 équations à 100 inconnues, on utilise la même technique mais on fait bien sûr appel à l'informatique pour réaliser les calculs!

Bravo pour avoir lu les cours jusqu'au bout!