Les développements limités

Les développements limités

Développement limité d'une fonction

Le développement limité d'une fonction en un point d'abscisse x=a est la somme d'un polynôme et d'un reste. Un développement limité permet d'approximer une fonction par un polynôme au voisinage d'un point.

On exprime ce polynôme en fonction de la variable x-a.

Définition

On dit qu'une fonction f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de a si f peut s'écrire sous la forme , avec 

Pour écrire le développement limité d'une fonction en un point, on utilise la formule de Taylor.

Exemples

1. Développement limité d'ordre 3 de la fonction sinus en 0.

D'après la formule de Taylor:

avec c compris entre 0 et x. En simplifiant cette équation, on obtient :

avec . Comme , nous avons bien trouvé un développement limité.

2. Développement limité d'ordre 8 de la fonction cosinus en 0.


On obiendrait de la même manière:

Ces deux développements limités nous donnent de bonnes approximations des fonctions sinus et cosinus par des polynômes au voisinage de 0.

Calcul de limites de fonctions

Définition

Si deux fonctions f et g sont telles que , on dit que f et g sont équivalentes au voisinage de a et on note . 

Exemple

Les fonctions  et  sont équivalentes au voisinage de 0.

En effet .

Application au calcul de limites

Lorsque deux fonctions sont équivalentes au voisinage d'un point alors elles ont la même limite en ce point. Les développements limités nous permettent donc de lever des formes indéterminées lors de calculs de limites.

Exemple: on ne sait pas calculer  (forme indéterminée).

Mais au voisinage de 0,  et , donc: