Intégrale de Riemann

Le programme ne précise pas si la définition de l'intégrale de Riemann doit figurer dans le cours. Certains collègues commencent ce cours directement avec la définition de la primitive d'une fonction, et $\int_a^b f(x)dx : = F(b)-F(a)$ Ainsi, le théorème fondamental de l'analyse, qui établit le lien entre l'intégration et la dérivation, devient trivial.

A mon avis, ce cours est quand même l'occasion ou jamais de définir l'intégrale de Riemann. Même si on passe sur les détails, on peut donner les trois définitions de ce premier chapitre et évoquer l'interprétation géométrique qui est très liée à la définition des sommes de Darboux.

Subdivisions et sommes de Darboux

Définition Une subdivision d'ordre

d'un intervalle

est une partie finie $X=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}\subset[a,b]$ telle que

$\displaystyle a=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b ~.$

On notera $S_{a,b}$ l'ensemble des subdivisions de

Exemple [subdivision équidistante] Lorsque $x_i= a+i\,h$ avec $h=\frac{b-a}n$ , on parle de la subdivision équidistante d'ordre

; on la note parfois ${[a,b]}_n$ . Le nombre

est le pas (uniforme) de cette subdivision.

Définition La somme de Darboux inférieure resp. supérieure de $f:[a,b]\to\R$ relativement à une subdivision

$X=\{x_0,\dots,x_n\}$ sont définies par

$\displaystyle s(f,X) := \sum_{i=1}^n h_i\, \inf f(I_i)$ resp. $\displaystyle S(f,X) := \sum_{i=1}^n h_i\, \sup f(I_i) ~,$

où $h_i=x_i-x_{i-1}$ est la longueur du

sous-intervalle $I_i=[x_{i-1},x_i]$ .

Les sommes de Darboux sont des réels bien définis ssi la fonction

est bornée, $% latex2html id marker 3586 $ \exists M\in\R:f([a,b])\subset[-M,M]$$ .

Sauf mention du contraire, dans tout ce qui suit, les fonctions considérées seront toujours bornées sur l'intervalle en question, sans que celà soit nécessairement dit explicitement.

Remarque Etudier l'interprétation géométrique des sommes de Darboux comme aire des rectangles de base $[x_{i-1},x_i]$ , encadrant l'épigraphe de

de en-dessous resp. au-dessus.

$\includegraphics[width=10.0cm,height=8.0cm]{A1.eps}$

Exercice Montrer qu'en ajoutant un point

(entre $x_{i-1}$ et

) à

, la somme de Darboux inférieure

(resp. supérieure) croît (resp. décroît). En déduire qu'on a

$\displaystyle \forall X,Y\in S_{a,b} : X\subset Y \impl s(f,X)\le s(f,Y)$ et $\displaystyle S(f,X)\ge S(f,Y) ~.$

Utiliser le résultat précédent et la subdivision

$Z=X\cup Y$ pour montrer que

$\displaystyle \forall X,Y\in S_{a,b} : s(f,X)\le S(f,Y) ~.$

Solution $s(f,X)\le s(f,Z)\le S(f,Z)\le S(f,Y)$ .

Remarque Lorsque $X\subset Y$ pour $X,Y\in S_{a,b}$ , on dit que

est plus fine que

. (C'est une relation d'ordre partiel

sur $S_{a,b}$ .)

Fonctions Riemann-intégrables, intégrale de Riemann

Définition La fonction

est Riemann-intégrable sur ssi les deux nombres

$\displaystyle s_a^b(f) := \sup_{X\in S_{a,b}} s(f,X) ~,~~ S_a^b(f) := \inf_{X\in S_{a,b}} S(f,X) ~.$

coïncident ; ce nombre est alors appellé l'intégrale de Riemann de

sur

(ou de

), et noté $\int_a^b f(x)dx$ .
L'ensemble des fonctions Riemann-intégrables

sur

est noté $\Ri ab$ .

Remarque L'existence de

est évidente: il suffit de constater que les ensembles $\set{s(f,X);X\in S_{a,b}}$ et $\set{S(f,X);X\in S_{a,b}}$ sont non-vides (prendre $\set{a,b}\in S_{a,b}$ ) et majorés resp. minorés d'après l'exercice précédent. On peut aussi montrer que

sont atteints lorsque le pas de la subdivision, $\vert X\vert=\max\vert x_i-x_{i-1}\vert$ tend vers zéro. La taille de ce pas induit la structure d'une base de filtre sur $S_{a,b}$ , permettant de considérer la limite de

Remarque Revenir sur l'interprétation géométrique de

, en considérant la limite de subdivisions de plus en plus fines.

Remarque La ``variable d'intégration''

dans $\int_a^b f(x)dx$ est une ``variable muette'', elle peut être remplacée par n'importe quelle autre variable (qui n'intervient pas déjà ailleurs dans la même formule).

Donnons encore une propsition d'ordre plutôt technique, avant d'énoncer une condition d'intégrabilité suffisante dans tous les cas que nous allons rencontrer.

Proposition (Critère d'intégrabilité de Riemann.) Une fonction

est Riemann-intégrable sur

ssi pour tout $\e>0$ il existe une subdivision $X\in S_{a,b}$ telle que $S(f,X)-s(f,X)<\e$ .

Démonstration Par déf. de

, $% latex2html id marker 3726 $ \forall\veps>0,~ \exists X',X''\in S_{a,b}: S(f,X')-S_a^b(f)<\veps/2$$ et $s_a^b(f)-s(f,X'') < \veps/2$ . Avec $X=X'\cup X''$ , il vient que $S(f,X)-s(f,X) < S(f,X')-s(f,X'') < \veps + S_a^b(f)-s_a^b(f)$ . Donc si $f\in \Ri ab\iff S_a^b(f) = s_a^b(f)$ , on a la subdivision souhaitée. Réciproquement, si une telle subdivision existe pour tout $\e>0$ , alors

coïncident évidemment.

Théorème Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle

est Riemann-intégrable.

Démonstration Si

est monotone, le $\sup$ et $\inf$ est atteint au bord de chaque sous-intervalle

. On a donc $% latex2html id marker 3752 $ S(f,X)-s(f,X)=\sum h_i\,\vert f(x_i)-f(x_{i-1})\ve... ...vert \sum\vert f(x_i)-f(x_{i-1})\vert=\vert X\vert{\text ·}\vert f(b)-f(a)\vert$$ . Il suffit donc de choisir le pas de la subdivision assez petit, $\vert X\vert<\veps/\vert f(b)-f(a)\vert$ , pour que ceci soit inférieur à un $\veps$ donné, d'où l'intégrabilité d'après le critère de Riemann.
Pour une fonction continue, la démonstration est admise dans le cadre de ce cours. A titre indicatif: $\vert f(x_i)-f(x_{i-1})\vert$ est à remplacer par $f(\xi_i^{\sup})-f(\xi_i^{\inf})$ , où $\xi_i^{\sup}, \xi_i^{\inf}$ sont les points de l'intervalle fermé et borné

en lesquels la fonction continue

atteint son maximum et minimum. On utilise maintenant le fait qu'une fonction continue sur $[a,b]\subset\R$ y est uniformément continue

, pour $\veps>0$ donné il existe $\eta>0$ (indépendant du point

) tel que $\vert x-y\vert<\eta\impl \vert f(x)-f(y)\vert<\veps$ . Donc, pour $\vert X\vert<\eta$ , on a $% latex2html id marker 3780 $ S(f,X)-s(f,X)<\eta{\text ·}n{\text ·}\veps$$ . Ceci devient aussi petit que voulu, car on peut prendre des subdivisions équidistantes pour lesquelles $n=(b-a)/\vert X\vert\sim(b-a)/\eta$ , il suffit donc de prendre $\veps$ assez petit.
Pour montrer qu'une fonction continue est uniformément continue sur un intervalle borné

, on peut utiliser que l'ensemble des boules ouvertes $B_\eta(x)$ telles que $y\in B_\eta(x)\impl f(y)\in B_\veps(f(x))$ , est un recouvrement ouvert de

, dont on peut extraire un recouvrement fini d'après le théorème de Heine-Borel. Le minimum de ces $\eta$ correspond au $\eta$ de l'uniforme continuité (au pire pour $2\veps$ au lieu de $\veps$ ).
(Pour une démonstration du théorème de Heine-Borel, voir ailleurs...)

Corollaire De même, une fonction (bornée!) continue sauf en un nombre fini de points, ou monotone sur chaque sous-intervalle d'une partition finie de

, est Riemann-intégrable

. (On peut en effet utiliser l'additivité des sommes de Darboux

, $s(f,X\cup Y)=s(f,X)+s(f,Y)$ pour $X\in S_{a,c},~Y\in S_{c,b}$ qui entraîne celle de

et de même pour

Remarque [fonction de Dirichlet] La fonction de Dirichlet,

$\displaystyle {\chi}_\Q(x) = \CASES{ 1 & x\in\Q\\ 0 & x\not\in\Q}$

n'est pas Riemann-intégrable, car on a

$\displaystyle \forall X\in S_{a,b}:~ s(f,X)=0 ~,~~ S(f,X)=b-a ~.$

En effet, sur chaque $I=[x_{i-1},x_i]$ il existe un point irrationnel, donc $\inf_If=0$ , mais aussi un point rationnel, d'où $\sup_If=1$ . Ainsi

est somme des longeurs des sous-intervalles et donc égale à

Remarque Le pas uniforme des subdivisions équidistantes simplifie beaucoup l'expression des sommes de Darboux (exercice!).
On peut montrer que pour $f\in \Ri ab$

, on a

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,\rd x$

$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} s(f,[a,b]_n) = \lim_{n\to\infty} S(f,[a,b]_n)$

La réciproque est vraie si

est continue.

Sommes de Riemann

Les sommes de Darboux ne sont pas très utiles pour le calcul effectif d'une intégrale, par exemple à l'aide d'un ordinateur, car il est en général assez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervalles. On considère plutôt

$\displaystyle s_n(f)=\SUM i1n (x_i-x_{i-1})\, f(x_{i-1})$ ou $\displaystyle S_n(f)=\SUM i1n (x_i-x_{i-1})\, f(x_i) ~.$

Plus généralement:

Définition Si $\xi=(\xi_1,...,\xi_n)$ vérifie $\forall i\in\set{1,...,n}, \xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ , on appelle $(X,\xi)$ une subdivision pointée et

$\displaystyle S(f,X,\xi)=\SUM i1n (x_i-x_{i-1})\, f(\xi_i)$

la somme de Riemann associée à la subdivision pointée $(X,\xi)$ . Si on pose de plus $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ , on a

$\displaystyle S(f,X,\xi)=\SUM i1n f(\xi_i)\,\Delta x_i ~,$

c'est de là que vient la notation $\int f(x)dx$ .

Théorème Si $f\in \Ri ab$ , alors les sommes de Riemann

$S(f,X,\xi)$ tendent vers $\int f(x)dx$ , independamment du choix des $\xi_i$ , lorsque la subdivision devient de plus en plus fine.

Démonstration Par définition, il est évident que $s(f,X)\le S(f,X,\xi)\le S(f,X)$ . Soit $f\in \Ri ab$ et

tel que $S(f,X)-s(f,X)<\veps$ . Alors on a aussi $S(f,X,\xi)-s_a^b<\veps$ , quel que soit le choix des $\xi_i$ , et a fortiori pour tout $X'\supset X$ . D'où le résultat.