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Equations différentielles linéaires

Equations différentielles linéaires

Définition Une équation différentielle d'ordre $ n$ est linéaire ssi elle est de la forme
$\displaystyle L(y)=f(x) \eqno(*) $
avec
$\displaystyle L(y) = a_0(x)\,y + a_1(x)\,y' + a_2(x)\,y'' +\cdots+ a_n(x)\,y^{(n)} ~. $

Proposition L'application $ L:\CC^n\to\CC^0$ qui à la fonction $ y$ associe la nouvelle fonction $ L(y)$, est une application linéaire. 
Démonstration En effet,
$\displaystyle L(y+z)$$\displaystyle =\sum_{i=0}^na_i(x)(y+z)^{(i)}$   
$\displaystyle =\sum_{i=0}^na_i(x)y^{(i)}+\sum_{i=0}^na_i(x)z^{(i)}$   
$\displaystyle =L(y)+L(z)$   

et pour tout $ \l\in\R$,
$\displaystyle L(\l\,y)$$\displaystyle =\sum_{i=0}^na_i(x)(\l\,y)^{(i)}$   
$\displaystyle =\l\sum_{i=0}^na_i(x)y^{(i)}=\l\,L(y)$   


Définition L'équation différentielle
$\displaystyle L(y)=0\eqno(E.H.) $
s'appelle équation homogène associée à $ (*)$. 
Proposition L'ensemble $ S_0$ des solutions à $ (E.H.)$ est le noyau de l'application linéaire $ L$, c'est donc un sous-espace vectoriel de $ \CC^n(\R)$. L'ensemble $ S$ des solutions à $ (*)$ est donné par
$\displaystyle S = y_p + S_0 = \set{ y_p+y_h ; y_h\in S_0 } ~$ avec $\displaystyle ~ L(y_p)=f(x) $
les solutions sont de la forme $ y=y_p+y_h$, ou $ y_p$ est une solution particulière de $ (*)$, et $ y_h$ parcourt toutes les solutions de l'équation homogène $ (E.H.)$. 
Démonstration La première partie est évidente. En ce qui concerne la $ 2^e$ partie, d'une part toute fonction de la fome $ y_p+y_h$ est solution de $ (*)$: en effet, $ L(y_p+y_h) =L(y_p)+L(y_h) =f(x)+0 =f(x)$. D'autre part, soient $ y_1$et $ y_2$ solutions à $ (*)$, alors on peut voir $ y_1$ comme la solution particulière $ y_p$ et toute autre solution $ y_2$ vérifie$ L(y_2-y_1) =L(y_2)-L(y_1) =f(x)-f(x) =0$, donc la différence $ y_h=y_2-y_1$ est bien une solution à $ (E.H.)$, donc un élément de $ S_0$. 

Principe de superposition

Si $ f(x)=f_1(x)+f_2(x)$, une solution particulière est donnée par $ y=y_1+y_2$, où $ y_i$ est une solution à$ L(y_i)=f_i(x)$ (pour $ i=1,2$).
C'est une conséquence directe (voire la définition) de la linéarité de l'opérateur $ L$.
On reviendra sur ce principe très important (voire fondamental notamment en ce qui concerne les lois de la nature) dans les cas particuliers des équations différentielles linéaires du 1er et du 2nd ordre.
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