Accéder au contenu principal

Equations différentielles linéaires

Equations différentielles linéaires

Définition Une équation différentielle d'ordre $ n$ est linéaire ssi elle est de la forme
$\displaystyle L(y)=f(x) \eqno(*) $
avec
$\displaystyle L(y) = a_0(x)\,y + a_1(x)\,y' + a_2(x)\,y'' +\cdots+ a_n(x)\,y^{(n)} ~. $

Proposition L'application $ L:\CC^n\to\CC^0$ qui à la fonction $ y$ associe la nouvelle fonction $ L(y)$, est une application linéaire. 
Démonstration En effet,
$\displaystyle L(y+z)$$\displaystyle =\sum_{i=0}^na_i(x)(y+z)^{(i)}$   
$\displaystyle =\sum_{i=0}^na_i(x)y^{(i)}+\sum_{i=0}^na_i(x)z^{(i)}$   
$\displaystyle =L(y)+L(z)$   

et pour tout $ \l\in\R$,
$\displaystyle L(\l\,y)$$\displaystyle =\sum_{i=0}^na_i(x)(\l\,y)^{(i)}$   
$\displaystyle =\l\sum_{i=0}^na_i(x)y^{(i)}=\l\,L(y)$   


Définition L'équation différentielle
$\displaystyle L(y)=0\eqno(E.H.) $
s'appelle équation homogène associée à $ (*)$. 
Proposition L'ensemble $ S_0$ des solutions à $ (E.H.)$ est le noyau de l'application linéaire $ L$, c'est donc un sous-espace vectoriel de $ \CC^n(\R)$. L'ensemble $ S$ des solutions à $ (*)$ est donné par
$\displaystyle S = y_p + S_0 = \set{ y_p+y_h ; y_h\in S_0 } ~$ avec $\displaystyle ~ L(y_p)=f(x) $
les solutions sont de la forme $ y=y_p+y_h$, ou $ y_p$ est une solution particulière de $ (*)$, et $ y_h$ parcourt toutes les solutions de l'équation homogène $ (E.H.)$. 
Démonstration La première partie est évidente. En ce qui concerne la $ 2^e$ partie, d'une part toute fonction de la fome $ y_p+y_h$ est solution de $ (*)$: en effet, $ L(y_p+y_h) =L(y_p)+L(y_h) =f(x)+0 =f(x)$. D'autre part, soient $ y_1$et $ y_2$ solutions à $ (*)$, alors on peut voir $ y_1$ comme la solution particulière $ y_p$ et toute autre solution $ y_2$ vérifie$ L(y_2-y_1) =L(y_2)-L(y_1) =f(x)-f(x) =0$, donc la différence $ y_h=y_2-y_1$ est bien une solution à $ (E.H.)$, donc un élément de $ S_0$. 

Principe de superposition

Si $ f(x)=f_1(x)+f_2(x)$, une solution particulière est donnée par $ y=y_1+y_2$, où $ y_i$ est une solution à$ L(y_i)=f_i(x)$ (pour $ i=1,2$).
C'est une conséquence directe (voire la définition) de la linéarité de l'opérateur $ L$.
On reviendra sur ce principe très important (voire fondamental notamment en ce qui concerne les lois de la nature) dans les cas particuliers des équations différentielles linéaires du 1er et du 2nd ordre.
Libellés :

Posts les plus consultés de ce blog

Développements limités : définition et propriétés

Développements limités : définition et propriétés Les développements limités consistent grosso modo à trouver une approximation polynômiale à une fonction plus compliquée, au voisinage d'un point choisi. Ils ont de nombreuses applications dans d'autres sciences (physique,...), mais aussi dans les mathématiques elles-mêmes, en particulier en analyse numérique. D.L. d'ordre   en  Définition   On dit que   admet un   ssi il existe un polynôme   et une fonction   t.q.      et   On appelle alors   la partie régulière du DL, et   le reste d'ordre  , que l'on note aussi  .   Exemple  [fondamental]  , donc   admet un   de partie régulière   et de reste . Remarque  On permet le cas  , mais les seuls cas utiles sont ceux ou   (adhérence de  ), par exemple   ou  . Remarque  ...
Lire la suite

Le langage et l'interpréteur Python Patie 1

Le langage et l'interpréteur Python Cette partie du cours aura pour but de nous familiariser avec les concepts principaux de la programmation des ordinateurs.  Nous y apprendrons les rudiments de la programmation dans le cadre du langage  Python . Ce que nous aurons acquis en programmation  Python  pourra ensuite être réinvesti dans la programmation en d'autres langages. Ce cours sera largement basé sur l'ouvrage de G. Swinnen,  Apprendre à programmer avec Python . Ce livre est disponible dans le commerce et peut aussi être  téléchargé gratuitement et légalement . Pourquoi ce langage s'appelle-t-il Python? Ce langage a été conçu par  Guido van Rossum , fan inconditionnel des  Monty Python . D'où le nom. Comment disposer du langage Python sur son ordinateur? Les compilateurs du langage Python sont disponibles pour  Linux/Unix, Mac OS/X ou Windows . Le langage Python est distribué sans frais sous licence "Open Source"...
Lire la suite

Conseils et stratégies Pour REUSSIR ses études supérieures

Conseils pour réussir ses études supérieures jusqu'à la thèse      ou : comment avoir toujours la moyenne et même beaucoup plus Ce qui suit s'adresse principalement à des étudiant(e)s de Sciences, mais la plus grande partie du message s'applique à tous les types d'études, à toutes les disciplines et à tous les établissements. Avec une légère adaptation, les conseils fournis peuvent même servir à un public plus jeune (lycéen(ne)es, scolaires...). Il s'agit bien sûr de conseils et non pas de recettes à appliquer bêtement. 1. «Le truc essentiel» :   le plaisir Faire des études supérieures, c'est un choix et un engagement, mais c'est surtout une grande jouissance. On y gagne à y être   intellectuel(le), voire même à devenir   intelligent(e)   tout en prenant du plaisir à lire, à écrire, calculer. Découvrir les mécanismes qui régissent le monde, maitriser les ordinateurs, les modèles mathématiques, économiques ou biologiques sous-j...
Lire la suite