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Equations différentielles du 1ér ordre

Equations différentielles du $ 1^{er}$ ordre

Définition Une équation différentielle est du 1er ordre si elle ne fait intervenir que la première dérivée $ y'$. 

Eq.diff. à variables séparées

Définition Une équation différentielle de 1er ordre est dite à variables séparées si elle peut s'écrire sous la forme
% latex2html id marker 2023 $\displaystyle f(y){\text .}y' = g(x) \eqno{(vs)} $

Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement: En effet, on écrit $ y'=\frac{\rd y}{\rd x}$, puis, symboliquement,
% latex2html id marker 2027 $\displaystyle f(y){\text .}\rd y = g(x){\text .}\rd x \iff \int f(y){\text .}\rd y = \int g(x){\text .}\rd x + C ~. $
(On écrit ici explicitement la constante d'intégration arbitraire $ C\in\R$ (qui est déjà implicitement présente dans les l'intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier.)
Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives $ F$ et $ G$ de $ f$ et de $ g$, et ensuite d'exprimer $ y$ en terme de $ x$ (et de $ C$):
$\displaystyle F(y) = G(x) + C \iff y=F^{-1}(G(x)+C) ~. $
C'est pour cette raison que l'on dit aussi «intégrer» pour «résoudre» une équation différentielle.
Exemple Résoudre sur $ I=\lr][{1,\infty}$ l'équation différentielle $ xy'\ln x=(3\ln x +1)y$. On peut «séparer les variables» ($ x$ et $ y$) en divisant par $ yx\ln x$, ce qui est permis ssi $ y\ne0$ (car $ x\ln x>0$ d'après l'énoncé). On a
$\displaystyle \frac{y'}y=\frac{3\ln x +1}{x\ln x} \iff \int \frac1y\,\rd y = \int\frac{3\ln x +1}{x\ln x}\,\rd x + C $
avec $ C\in\R$, soit ( $ \frac{3\ln x +1}{x\ln x}=\frac3x+\frac1{x\ln x}$)
$\displaystyle \ln\vert y\vert=3\ln\vert x\vert+\ln\vert\ln x\vert+C' = \ln \lr\vert\vert{x^3\,\ln x} + C' ~. $
(On a simplifié $ \ln\vert...\vert=\ln(...)$ en utilisant que $ x\in I\iff x>1$.) 
En prenant l'exponentielle de cette equation, on a finalement
$\displaystyle y = C_2\,x^3\,\ln x $
avec $ C_2\in\R$: en effet, le signe de $ C_2(=\pm e^{C'})$ tient compte des deux possibilités pour $ \vert y\vert$, et on vérifie que$ C_2=0 ~\impl~ y=0$ est aussi solution (mais pour laquelle le calcul précédent, à partir de la division par $ y$, n'est pas valable.)

Détermination de la cte. d'intégration

La constante d'intégration $ C$ est fixée lorsqu'on demande que pour un $ x=x_0$ donnée, on ait une valeur donnée de$ y(x)=y(x_0)=y_0$. (On parle d'un problème aux valeurs initiales.)
On arrive au même résultat en travaillant dès l'intégration de l'équation différentielle avec des intégrales définis:
% latex2html id marker 2095 $\displaystyle f(y){\text .}y' = g(x)\land y(x_0)=y... ...f \int_{y_0}^y f(\eta){\text .}\rd\eta = \int_{x_0}^x g(\xi){\text .}\rd\xi ~. $
La fonction $ y$ ainsi obtenue est directement telle que $ y(x_0)=y_0$, sans passer par la détermination de la constante d'intégration.
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