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Equations différentielles linéaires Définition   Une équation différentielle d'ordre   est  linéaire  ssi elle est de la forme avec Proposition   L'application   qui à la fonction   associe la nouvelle fonction  , est une application linéaire .  Démonstration  En effet,             et pour tout  ,         Définition   L'équation différentielle s'appelle équation homogène associée à  .   Proposition   L'ensemble   des solutions à   est le noyau  de l'application linéaire  , c'est donc un sous-espace vectoriel  de  . L'ensemble   des solutions à   est donné par  avec  les solutions sont de la forme  , ou   est une  solution particulière  de  , et   parcourt toutes les solutions de l'équation homogène  .   Démonstration  La première partie est évidente. En ce qui concerne la   partie, d'une part toute fonction de la fome   est solution de  : en effet,  . D'autre part, soient  et